Упр.17.58 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

(xy^2)/(x^3+2)+(yz^2)/(y^3+2)+(zx^2)/(z^3+2)?1.

Положим в общем неравенстве $$a=x,\quad b=y,\quad c=z.$$

Тогда нужно доказать, что

$$\frac{xy^2}{x^3+2}+\frac{yz^2}{y^3+2}+\frac{zx^2}{z^3+2}\ge 1.$$

Так как $$xyz=1,$$ то

$$2=2xyz.$$

Следовательно,

$$\frac{xy^2}{x^3+2}+\frac{yz^2}{y^3+2}+\frac{zx^2}{z^3+2} =\frac{xy^2}{x^3+2xyz}+\frac{yz^2}{y^3+2xyz}+\frac{zx^2}{z^3+2xyz}.$$

Используем неравенство

$$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca,$$

которое в данном случае даёт

$$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx.$$

Тогда для каждого слагаемого можно оценить знаменатель:

$$x^3+2xyz=x(x^2+2yz)\le x(x^2+y^2+z^2),$$

$$y^3+2xyz=y(y^2+2zx)\le y(x^2+y^2+z^2),$$

$$z^3+2xyz=z(z^2+2xy)\le z(x^2+y^2+z^2).$$

Отсюда

$$\frac{xy^2}{x^3+2xyz}\ge \frac{xy^2}{x(x^2+y^2+z^2)}=\frac{y^2}{x^2+y^2+z^2},$$

$$\frac{yz^2}{y^3+2xyz}\ge \frac{z^2}{x^2+y^2+z^2},$$

$$\frac{zx^2}{z^3+2xyz}\ge \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}.$$

Складывая, получаем

$$\frac{xy^2}{x^3+2}+\frac{yz^2}{y^3+2}+\frac{zx^2}{z^3+2}\ge \frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}=1.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\frac{xy^2}{x^3+2}+\frac{yz^2}{y^3+2}+\frac{zx^2}{z^3+2}\ge 1.$$