Упр.17.57 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство $$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{3n+1}<2$$, где $$n\in\mathbb{N}$$.

Для каждого слагаемого суммы верно:

$$n+k \ge n+1,\quad k=1,2,\dots,2n+1,$$

значит,

$$\frac{1}{n+k}\le \frac{1}{n+1}.$$

Тогда

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3n+1} \le \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{n+1}.$$

В правой части $$2n+1$$ слагаемое, поэтому

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{n+1} = \frac{2n+1}{n+1} = \frac{2(n+1)-1}{n+1} = 2-\frac{1}{n+1}.$$

Так как $$n\in \mathbb{N},$$ то $$n+1>0$$ и

$$2-\frac{1}{n+1}<2.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3n+1}<2.$$

Ответ

Неравенство доказано.