Упр.17.56 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.56. Докажите, что если x?[0; 1] и y?[0; 1], то (x+y+1)^2?4(x^2+y^2).

Так как $$x \in [0;1]$$ и $$y \in [0;1],$$ то для каждого из чисел $$x$$ и $$y$$ верно:

$$x^2 \le x,\qquad y^2 \le y.$$

Сложим эти неравенства:

$$x^2+y^2 \le x+y.$$

Умножим обе части на $$4$$:

$$4(x^2+y^2) \le 4(x+y).$$

Теперь докажем, что

$$ (x+y+1)^2 \ge 4(x+y). $$

Действительно, обозначим $$t=x+y.$$ Тогда $$0 \le t \le 2,$$ и

$$ (t+1)^2-4t=t^2-2t+1=(t-1)^2 \ge 0. $$

Значит,

$$ (x+y+1)^2 \ge 4(x+y). $$

Так как одновременно

$$4(x+y) \ge 4(x^2+y^2),$$

то получаем

$$ (x+y+1)^2 \ge 4(x^2+y^2). $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$ (x+y+1)^2 \ge 4(x^2+y^2). $$