Упр.17.56 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$x\in[0;1]$$ и $$y\in[0;1]$$, то $$(x+y+1)^2\geq 4(x^2+y^2)$$.

Так как $$x \in [0;1]$$ и $$y \in [0;1],$$ то для каждого из чисел $$x$$ и $$y$$ верно:

$$x^2 \le x,\qquad y^2 \le y.$$

Сложим эти неравенства:

$$x^2+y^2 \le x+y.$$

Умножим обе части на $$4$$:

$$4(x^2+y^2) \le 4(x+y).$$

Теперь докажем, что

$$(x+y+1)^2 \ge 4(x+y).$$

Действительно, обозначим $$t=x+y.$$ Тогда $$0 \le t \le 2,$$ и

$$(t+1)^2-4t=t^2-2t+1=(t-1)^2 \ge 0.$$

Значит,

$$(x+y+1)^2 \ge 4(x+y).$$

Так как одновременно

$$4(x+y) \ge 4(x^2+y^2),$$

то получаем

$$(x+y+1)^2 \ge 4(x^2+y^2).$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$(x+y+1)^2 \ge 4(x^2+y^2).$$