Упр.17.55 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Известно, что $$a>0$$, $$b>0$$ и $$ab?a+b$$. Докажите, что $$a+b?4$$.

Рассмотрим неравенство

$$(a-b)^2 \ge 0.$$

Тогда

$$a^2-2ab+b^2 \ge 0,$$

откуда

$$a^2+2ab+b^2 \ge 4ab.$$

Следовательно,

$$(a+b)^2 \ge 4ab.$$

По условию $$ab \ge a+b$$, значит

$$(a+b)^2 \ge 4(a+b).$$

Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$a+b>0$$. Разделим обе части неравенства на $$a+b$$:

$$a+b \ge 4.$$

Ответ

$$a+b \ge 4.$$