Упр.17.55 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.55. Известно, что a > 0, b > 0 и ab?a+b. Докажите, что a+b?4.

Рассмотрим неравенство

$$ (a-b)^2 \ge 0. $$

Тогда

$$ a^2-2ab+b^2 \ge 0, $$

откуда

$$ a^2+2ab+b^2 \ge 4ab. $$

Следовательно,

$$ (a+b)^2 \ge 4ab. $$

По условию $$ab \ge a+b$$, значит

$$ (a+b)^2 \ge 4(a+b). $$

Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$a+b>0$$. Разделим обе части неравенства на $$a+b$$:

$$ a+b \ge 4. $$

Ответ

$$a+b \ge 4.$$