Упр.17.54 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.54. Известно, что a > 0, b > 0, c > 0 и ab+bc+ac?a+b+c. Докажите, что a+b+c?3.

Используем неравенство

$$ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0. $$

Раскроем скобки:

$$ a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge 0, $$

$$ 2a^2+2b^2+2c^2\ge 2ab+2bc+2ac. $$

Делим на $$2$$:

$$ a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac. $$

Тогда

$$ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge 3(ab+bc+ac). $$

По условию $$ab+bc+ac\ge a+b+c$$, значит

$$ (a+b+c)^2\ge 3(a+b+c). $$

Так как $$a>0,\ b>0,\ c>0$$, то $$a+b+c>0$$. Делим неравенство на $$a+b+c$$:

$$ a+b+c\ge 3. $$

Ответ

$$a+b+c\ge 3$$