Упр.17.54 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$a>0$$, $$b>0$$, $$c>0$$ и $$ab+bc+ac\geq a+b+c$$. Докажите, что $$a+b+c\geq 3$$.

Используем неравенство

$$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0.$$

Раскроем скобки:

$$a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge 0,$$

$$2a^2+2b^2+2c^2\ge 2ab+2bc+2ac.$$

Делим на $$2$$:

$$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac.$$

Тогда

$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge 3(ab+bc+ac).$$

По условию $$ab+bc+ac\ge a+b+c$$, значит

$$(a+b+c)^2\ge 3(a+b+c).$$

Так как $$a>0,\ b>0,\ c>0$$, то $$a+b+c>0$$. Делим неравенство на $$a+b+c$$:

$$a+b+c\ge 3.$$

Ответ

$$a+b+c\ge 3$$