Упр.17.53 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$a>0$$, $$b>0$$, $$c>0$$ и $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$$, то $$\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{b}{b^2+c^2}+\frac{c}{c^2+a^2}\geq\frac{1}{2}$$.

Для любых положительных чисел $$x$$ и $$y$$ имеем

$$(x-y)^2 \ge 0$$

откуда

$$x^2-2xy+y^2 \ge 0$$

$$x^2+y^2 \ge 2xy$$

Следовательно,

$$\frac{1}{x^2+y^2} \le \frac{1}{2xy}$$

умножим обе части на $$2x$$:

$$\frac{2x}{x^2+y^2} \le \frac{1}{y}$$

Применим это неравенство к каждой дроби:

$$\frac{2a}{a^2+b^2} \le \frac{1}{b}, \qquad \frac{2b}{b^2+c^2} \le \frac{1}{c}, \qquad \frac{2c}{c^2+a^2} \le \frac{1}{a}$$

Сложим полученные неравенства:

$$\frac{2a}{a^2+b^2}+\frac{2b}{b^2+c^2}+\frac{2c}{c^2+a^2} \le \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$

По условию

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$$

значит,

$$\frac{2a}{a^2+b^2}+\frac{2b}{b^2+c^2}+\frac{2c}{c^2+a^2}\le 1$$

Делим обе части на $$2$$:

$$\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{b}{b^2+c^2}+\frac{c}{c^2+a^2}\le \frac12$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{b}{b^2+c^2}+\frac{c}{c^2+a^2}\le \frac12$$