Упр.17.53 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

a/(a^2+b^2)+b/(b^2+c^2)+c/(c^2+a^2)?1/2.

Для любых положительных чисел $$x$$ и $$y$$ имеем

$$ (x-y)^2 \ge 0 $$

откуда

$$ x^2-2xy+y^2 \ge 0 $$

$$ x^2+y^2 \ge 2xy $$

Следовательно,

$$ \frac{1}{x^2+y^2} \le \frac{1}{2xy} $$

умножим обе части на $$2x$$:

$$ \frac{2x}{x^2+y^2} \le \frac{1}{y} $$

Применим это неравенство к каждой дроби:

$$ \frac{2a}{a^2+b^2} \le \frac{1}{b}, \qquad \frac{2b}{b^2+c^2} \le \frac{1}{c}, \qquad \frac{2c}{c^2+a^2} \le \frac{1}{a} $$

Сложим полученные неравенства:

$$ \frac{2a}{a^2+b^2}+\frac{2b}{b^2+c^2}+\frac{2c}{c^2+a^2} \le \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} $$

По условию

$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1 $$

значит,

$$ \frac{2a}{a^2+b^2}+\frac{2b}{b^2+c^2}+\frac{2c}{c^2+a^2}\le 1 $$

Делим обе части на $$2$$:

$$ \frac{a}{a^2+b^2}+\frac{b}{b^2+c^2}+\frac{c}{c^2+a^2}\le \frac12 $$

Неравенство доказано.

Ответ

$$ \frac{a}{a^2+b^2}+\frac{b}{b^2+c^2}+\frac{c}{c^2+a^2}\le \frac12 $$