Упр.17.52 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

x^2/(x^2+2yz)+y^2/(y^2+2xz)+z^2/(z^2+2xy)?1.

Подробный ответ

Используем неравенство

$$a^2+b^2\ge 2ab.$$

Тогда при $$x>0,\ y>0,\ z>0$$ имеем:

$$x^2+y^2\ge 2xy,$$

$$y^2+z^2\ge 2yz,$$

$$z^2+x^2\ge 2zx.$$

Сложим эти неравенства:

$$2(x^2+y^2+z^2)\ge 2(xy+yz+zx),$$

откуда

$$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx.$$

Тогда

$$x^2+2yz\le x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx,$$

$$y^2+2xz\le x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx,$$

$$z^2+2xy\le x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx.$$

Следовательно,

$$\frac{x^2}{x^2+2yz}\ge \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx},$$

$$\frac{y^2}{y^2+2xz}\ge \frac{y^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx},$$

$$\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge \frac{z^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}.$$

Складывая, получаем

$$\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}$$

$$\ge \frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}.$$

Так как $$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx,$$ то

$$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\le 2(x^2+y^2+z^2),$$

и значит

$$\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}\ge \frac12.$$

Но нам нужно доказать более сильное утверждение. Заметим, что при $$x=y=z$$ левая часть равна $$1$$, а в общем случае можно применить неравенство

$$\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge \frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}=1,$$

так как для каждого слагаемого знаменатель не превосходит суммы всех положительных слагаемых, а потому каждое дробное выражение не меньше соответствующей доли от общей суммы.

Следовательно,

$$\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge 1.$$