Упр.17.51 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$x>0$$ и $$y>0$$, то $$\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{y^4+x^2}\leq\frac{1}{xy}$$.

Так как $$x>0$$ и $$y>0$$, то для любых положительных чисел $$a$$ и $$b$$ верно неравенство

$$(a-b)^2 \ge 0$$

откуда

$$a^2+b^2 \ge 2ab,\qquad \frac{1}{a^2+b^2}\le \frac{1}{2ab}.$$

Применим это неравенство дважды.

1) Для $$a=x^2$$ и $$b=y$$ получаем

$$\frac{1}{x^4+y^2}\le \frac{1}{2x^2y}.$$

Умножим на $$x>0$$:

$$\frac{x}{x^4+y^2}\le \frac{1}{2xy}.$$

2) Для $$a=y^2$$ и $$b=x$$ получаем

$$\frac{1}{y^4+x^2}\le \frac{1}{2y^2x}.$$

Умножим на $$y>0$$:

$$\frac{y}{y^4+x^2}\le \frac{1}{2xy}.$$

Сложим полученные неравенства:

$$\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{y^4+x^2} \le \frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy} = \frac{1}{xy}.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{y^4+x^2}\le \frac{1}{xy}.$$

Ответ

$$\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{y^4+x^2}\le \frac{1}{xy}$$