Упр.17.51 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.51. Докажите, что если x > 0 и y > 0, то x/(x^4+y^2)+y/(y^4+x^2)?1/(xy).

Так как $$x>0$$ и $$y>0$$, то для любых положительных чисел $$a$$ и $$b$$ верно неравенство

$$ (a-b)^2 \ge 0 $$

откуда

$$ a^2+b^2 \ge 2ab,\qquad \frac{1}{a^2+b^2}\le \frac{1}{2ab}. $$

Применим это неравенство дважды.

1) Для $$a=x^2$$ и $$b=y$$ получаем

$$ \frac{1}{x^4+y^2}\le \frac{1}{2x^2y}. $$

Умножим на $$x>0$$:

$$ \frac{x}{x^4+y^2}\le \frac{1}{2xy}. $$

2) Для $$a=y^2$$ и $$b=x$$ получаем

$$ \frac{1}{y^4+x^2}\le \frac{1}{2y^2x}. $$

Умножим на $$y>0$$:

$$ \frac{y}{y^4+x^2}\le \frac{1}{2xy}. $$

Сложим полученные неравенства:

$$ \frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{y^4+x^2} \le \frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy} = \frac{1}{xy}. $$

Следовательно,

$$ \frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{y^4+x^2}\le \frac{1}{xy}. $$

Ответ

$$ \frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{y^4+x^2}\le \frac{1}{xy} $$