Упр.17.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что:
   1) если $$a?6$$, то $$a^3-6a^2+a-6?0$$;
   2) если $$a?b$$, то $$ab(b-a)?a^3-b^3$$.

1) Если $$a \ge 6,$$ то

$$a^3-6a^2+a-6=(a^3+a)-(6a^2+6)=a(a^2+1)-6(a^2+1)=(a-6)(a^2+1).$$

Так как $$a \ge 6,$$ то $$a-6 \ge 0,$$ а $$a^2+1>0.$$ Следовательно,

$$(a-6)(a^2+1)\ge 0,$$

то есть

$$a^3-6a^2+a-6\ge 0.$$

2) Если $$a \ge b,$$ то

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Тогда

$$a^3-b^3-ab(b-a)=(a-b)(a^2+ab+b^2)+ab(a-b)$$
$$=(a-b)(a^2+2ab+b^2)=(a-b)(a+b)^2.$$

Так как $$a \ge b,$$ то $$a-b \ge 0,$$ а $$(a+b)^2 \ge 0.$$ Значит,

$$a^3-b^3-ab(b-a)\ge 0,$$

откуда

$$ab(b-a)\le a^3-b^3.$$

Ответ

1) $$a^3-6a^2+a-6\ge 0.$$
2) $$ab(b-a)\le a^3-b^3.$$