Упр.17.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) если a?6, то a^3-6a^2+a-6?0;
2) если a?b, то ab(b-a)?a^3-b^3.

1) Если $$a \ge 6,$$ то

$$ a^3-6a^2+a-6=(a^3+a)-(6a^2+6)=a(a^2+1)-6(a^2+1)=(a-6)(a^2+1). $$

Так как $$a \ge 6,$$ то $$a-6 \ge 0,$$ а $$a^2+1>0.$$ Следовательно,

$$ (a-6)(a^2+1)\ge 0, $$

то есть

$$ a^3-6a^2+a-6\ge 0. $$

2) Если $$a \ge b,$$ то

$$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2). $$

Тогда

$$ a^3-b^3-ab(b-a)=(a-b)(a^2+ab+b^2)+ab(a-b) $$
$$ =(a-b)(a^2+2ab+b^2)=(a-b)(a+b)^2. $$

Так как $$a \ge b,$$ то $$a-b \ge 0,$$ а $$ (a+b)^2 \ge 0.$$ Значит,

$$ a^3-b^3-ab(b-a)\ge 0, $$

откуда

$$ ab(b-a)\le a^3-b^3. $$

Ответ

1) $$a^3-6a^2+a-6\ge 0.$$
2) $$ab(b-a)\le a^3-b^3.$$