Упр.17.49 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.49. Докажите, что при любых значениях a, b и c хотя бы одно из неравенств a-b^2?1/4, b-c^2?1/4, c-a^2?1/4 верно.

Предположим, что ни одно из неравенств не выполняется. Тогда

$$a-b^2>\frac14,\quad b-c^2>\frac14,\quad c-a^2>\frac14.$$

Сложим эти неравенства почленно:

$$a+b+c-(a^2+b^2+c^2)>\frac34.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a^2+b^2+c^2-a-b-c+\frac34<0.$$

Преобразуем левую часть:

$$\left(a-\frac12\right)^2+\left(b-\frac12\right)^2+\left(c-\frac12\right)^2<0.$$

Но сумма квадратов не может быть отрицательной. Получили противоречие.

Следовательно, хотя бы одно из неравенств

$$a-b^2\le \frac14,\quad b-c^2\le \frac14,\quad c-a^2\le \frac14$$

верно при любых значениях $a$, $b$ и $c$.

Ответ

Хотя бы одно из неравенств $$a-b^2\le \frac14,\; b-c^2\le \frac14,\; c-a^2\le \frac14$$ верно.