Упр.17.48 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.48. Известно, что a^2+b^2+c^2=1. Докажите, что (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2?3.

Раскроем скобки в левой части:

$$ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 $$

$$ =(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2) $$

$$ =2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca). $$

Так как $$a^2+b^2+c^2=1,$$ то нужно доказать, что

$$ 2-2(ab+bc+ca)\le 3, $$

то есть

$$ ab+bc+ca\ge -\frac12. $$

Рассмотрим квадрат суммы:

$$ (a+b+c)^2\ge 0. $$

Тогда

$$ a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\ge 0. $$

Подставляя $$a^2+b^2+c^2=1,$$ получаем

$$ 1+2(ab+bc+ca)\ge 0, $$

откуда

$$ ab+bc+ca\ge -\frac12. $$

Следовательно,

$$ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\le 3. $$

Ответ

$$ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\le 3 $$