Упр.17.48 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$a^2+b^2+c^2=1$$. Докажите, что $$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\leq 3$$.

Раскроем скобки в левой части:

$$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$$

$$=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)$$

$$=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca).$$

Так как $$a^2+b^2+c^2=1,$$ то нужно доказать, что

$$2-2(ab+bc+ca)\le 3,$$

то есть

$$ab+bc+ca\ge -\frac12.$$

Рассмотрим квадрат суммы:

$$(a+b+c)^2\ge 0.$$

Тогда

$$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\ge 0.$$

Подставляя $$a^2+b^2+c^2=1,$$ получаем

$$1+2(ab+bc+ca)\ge 0,$$

откуда

$$ab+bc+ca\ge -\frac12.$$

Следовательно,

$$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\le 3.$$

Ответ

$$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\le 3$$