Упр.17.47 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$a>0$$, $$b>0$$, $$c>0$$, то $$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c$$.

Рассмотрим неравенство

$$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c.$$

Так как $$a>0,\; b>0,\; c>0,$$ введём обозначения:

$$x=\sqrt{\frac{bc}{a}},\quad y=\sqrt{\frac{ac}{b}},\quad z=\sqrt{\frac{ab}{c}}.$$

Тогда

$$x^2=\frac{bc}{a},\quad y^2=\frac{ac}{b},\quad z^2=\frac{ab}{c}.$$

Кроме того,

$$xy=\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ac}{b}}=c,\quad yz=\sqrt{\frac{ac}{b}\cdot\frac{ab}{c}}=a,\quad zx=\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=b.$$

По неравенству

$$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$$

получаем

$$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c.$$