Упр.17.46 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.46. Докажите неравенство (a/b)^4+(b/c)^4+(c/a)^4?a/b+b/c+c/a.

Подробный ответ

Используем неравенство

$$ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\ge 0. $$

Раскроем скобки:

$$ x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge 0, $$

$$ 2x^2+2y^2+2z^2\ge 2xy+2yz+2zx, $$

$$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx. $$

Применим это неравенство к числам $$\frac{a}{b},\ \frac{b}{c},\ \frac{c}{a}$$:

$$ \left(\frac{a}{b}\right)^4+\left(\frac{b}{c}\right)^4+\left(\frac{c}{a}\right)^4 \ge \left(\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\right)^2+ \left(\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}\right)^2+ \left(\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}\right)^2. $$

То есть

$$ \left(\frac{a}{b}\right)^4+\left(\frac{b}{c}\right)^4+\left(\frac{c}{a}\right)^4 \ge \left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2. $$

Теперь снова применим неравенство $$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$$ к числам $$\frac{a}{c},\ \frac{b}{a},\ \frac{c}{b}$$:

$$ \left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2 \ge \frac{a}{c}\cdot\frac{b}{a}+\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}+\frac{c}{b}\cdot\frac{a}{c}. $$

Следовательно,

$$ \left(\frac{a}{b}\right)^4+\left(\frac{b}{c}\right)^4+\left(\frac{c}{a}\right)^4 \ge \frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}. $$

Что и требовалось доказать.