Упр.17.46 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите неравенство $$\left(\frac{a}{b}\right)^4+\left(\frac{b}{c}\right)^4+\left(\frac{c}{a}\right)^4 ? \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$$.

Используем неравенство

$$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\ge 0.$$

Раскроем скобки:

$$x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge 0,$$

$$2x^2+2y^2+2z^2\ge 2xy+2yz+2zx,$$

$$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx.$$

Применим это неравенство к числам $$\frac{a}{b},\ \frac{b}{c},\ \frac{c}{a}$$:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^4+\left(\frac{b}{c}\right)^4+\left(\frac{c}{a}\right)^4 \ge \left(\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\right)^2+ \left(\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}\right)^2+ \left(\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}\right)^2.$$

То есть

$$\left(\frac{a}{b}\right)^4+\left(\frac{b}{c}\right)^4+\left(\frac{c}{a}\right)^4 \ge \left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2.$$

Теперь снова применим неравенство $$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$$ к числам $$\frac{a}{c},\ \frac{b}{a},\ \frac{c}{b}$$:

$$\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{b}\right)^2 \ge \frac{a}{c}\cdot\frac{b}{a}+\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}+\frac{c}{b}\cdot\frac{a}{c}.$$

Следовательно,

$$\left(\frac{a}{b}\right)^4+\left(\frac{b}{c}\right)^4+\left(\frac{c}{a}\right)^4 \ge \frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\left(\frac{a}{b}\right)^4+\left(\frac{b}{c}\right)^4+\left(\frac{c}{a}\right)^4\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}.$$