Упр.17.45 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
- Докажите неравенство $$\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2\geq\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}.$$
Используем вспомогательное неравенство
$$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\ge 0.$$
Раскроем скобки:
$$x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge 0,$$
$$2x^2+2y^2+2z^2\ge 2xy+2yz+2zx,$$
$$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx.$$
Теперь положим
$$x=\frac{a}{b},\quad y=\frac{b}{c},\quad z=\frac{c}{a}.$$
Тогда
$$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$$
даёт
$$\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2 \ge \frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}+\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}+\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}.$$
Упростим правую часть:
$$\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}=\frac{a}{c},\qquad \frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}=\frac{b}{a},\qquad \frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}=\frac{c}{b}.$$
Следовательно,
$$\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2 \ge \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}.$$
Ответ
$$\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2 \ge \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}.$$
