Упр.17.45 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.45. Докажите неравенство (a/b)^2+(b/c)^2+(c/a)^2?a/c+c/b+b/a.

Используем вспомогательное неравенство

$$ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\ge 0. $$

Раскроем скобки:

$$ x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge 0, $$

$$ 2x^2+2y^2+2z^2\ge 2xy+2yz+2zx, $$

$$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx. $$

Теперь положим

$$ x=\frac{a}{b},\quad y=\frac{b}{c},\quad z=\frac{c}{a}. $$

Тогда

$$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $$

даёт

$$ \left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2 \ge \frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}+\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}+\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}. $$

Упростим правую часть:

$$ \frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}=\frac{a}{c},\qquad \frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}=\frac{b}{a},\qquad \frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}=\frac{c}{b}. $$

Следовательно,

$$ \left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2 \ge \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}. $$

Ответ

$$ \left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{c}{a}\right)^2 \ge \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}. $$