Упр.17.44 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$a\geq0$$, $$b\geq0$$, $$c\geq0$$, то $$a+b+c\geq\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$$.

Рассмотрим неотрицательные числа $$\sqrt a,\ \sqrt b,\ \sqrt c.$$

Для любых чисел верно неравенство

$$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\ge 0.$$

Раскроем скобки:

$$x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge 0,$$

$$2x^2+2y^2+2z^2\ge 2xy+2yz+2zx,$$

$$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx.$$

Подставим $$x=\sqrt a,\ y=\sqrt b,\ z=\sqrt c$$:

$$a+b+c\ge \sqrt a\sqrt b+\sqrt b\sqrt c+\sqrt c\sqrt a.$$

Так как $$\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab},\ \sqrt b\sqrt c=\sqrt{bc},\ \sqrt c\sqrt a=\sqrt{ca},$$ получаем

$$a+b+c\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}.$$

Ответ

$$a+b+c\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}.$$