Упр.17.44 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.44. Докажите, что если a?0, b?0, c?0, то a+b+c?v(ab)+v(bc)+v(ca).

Рассмотрим неотрицательные числа $$\sqrt a,\ \sqrt b,\ \sqrt c.$$

Для любых чисел верно неравенство

$$ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\ge 0. $$

Раскроем скобки:

$$ x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge 0, $$

$$ 2x^2+2y^2+2z^2\ge 2xy+2yz+2zx, $$

$$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx. $$

Подставим $$x=\sqrt a,\ y=\sqrt b,\ z=\sqrt c$$:

$$ a+b+c\ge \sqrt a\sqrt b+\sqrt b\sqrt c+\sqrt c\sqrt a. $$

Так как $$\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab},\ \sqrt b\sqrt c=\sqrt{bc},\ \sqrt c\sqrt a=\sqrt{ca},$$ получаем

$$ a+b+c\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}. $$

Ответ

$$a+b+c\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}.$$