Упр.17.43 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1/a+1/b+1/c?1/v(ab)+1/v(bc)+1/v(ca).

Рассмотрим тождественно неотрицательное выражение:

$$ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\ge 0. $$

Раскроем скобки:

$$ (x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)\ge 0, $$

$$ 2x^2+2y^2+2z^2\ge 2xy+2yz+2zx, $$

$$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx. $$

Теперь положим

$$ x=\frac{1}{\sqrt a},\quad y=\frac{1}{\sqrt b},\quad z=\frac{1}{\sqrt c}. $$

Тогда получаем:

$$ \left(\frac{1}{\sqrt a}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt b}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt c}\right)^2 \ge \frac{1}{\sqrt a}\cdot\frac{1}{\sqrt b}+\frac{1}{\sqrt b}\cdot\frac{1}{\sqrt c}+\frac{1}{\sqrt c}\cdot\frac{1}{\sqrt a}. $$

Следовательно,

$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}. $$

Неравенство доказано.

Ответ

$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}. $$