Упр.17.43 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$a>0$$, $$b>0$$ и $$c>0$$, то $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\mathrel{?}\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}$$.

Рассмотрим тождественно неотрицательное выражение:

$$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\ge 0.$$

Раскроем скобки:

$$(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)\ge 0,$$

$$2x^2+2y^2+2z^2\ge 2xy+2yz+2zx,$$

$$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx.$$

Теперь положим

$$x=\frac{1}{\sqrt a},\quad y=\frac{1}{\sqrt b},\quad z=\frac{1}{\sqrt c}.$$

Тогда получаем:

$$\left(\frac{1}{\sqrt a}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt b}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt c}\right)^2 \ge \frac{1}{\sqrt a}\cdot\frac{1}{\sqrt b}+\frac{1}{\sqrt b}\cdot\frac{1}{\sqrt c}+\frac{1}{\sqrt c}\cdot\frac{1}{\sqrt a}.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}.$$