Упр.17.42 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.42. Докажите неравенство 4a^2+b^2+1?2ab+2a+b.

Рассмотрим три неравенства:

$$ (2a-1)^2 \ge 0 $$
откуда
$$ 4a^2-4a+1 \ge 0, $$
значит
$$ 4a^2+1 \ge 4a. $$

$$ (b-1)^2 \ge 0 $$
откуда
$$ b^2-2b+1 \ge 0, $$
значит
$$ b^2+1 \ge 2b. $$

$$ (2a-b)^2 \ge 0 $$
откуда
$$ 4a^2-4ab+b^2 \ge 0, $$
значит
$$ 4a^2+b^2 \ge 4ab. $$

Сложим почленно полученные неравенства:

$$ (4a^2+1)+(b^2+1)+(4a^2+b^2) \ge 4a+2b+4ab $$
$$ 8a^2+2b^2+2 \ge 4ab+4a+2b $$
$$ 4a^2+b^2+1 \ge 2ab+2a+b. $$

Неравенство доказано.

Ответ

$$ 4a^2+b^2+1 \ge 2ab+2a+b $$