Упр.17.42 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите неравенство $$4a^2+b^2+1\geq 2ab+2a+b$$.

Рассмотрим три неравенства:

$$(2a-1)^2 \ge 0$$
откуда
$$4a^2-4a+1 \ge 0,$$
значит
$$4a^2+1 \ge 4a.$$

$$(b-1)^2 \ge 0$$
откуда
$$b^2-2b+1 \ge 0,$$
значит
$$b^2+1 \ge 2b.$$

$$(2a-b)^2 \ge 0$$
откуда
$$4a^2-4ab+b^2 \ge 0,$$
значит
$$4a^2+b^2 \ge 4ab.$$

Сложим почленно полученные неравенства:

$$(4a^2+1)+(b^2+1)+(4a^2+b^2) \ge 4a+2b+4ab$$
$$8a^2+2b^2+2 \ge 4ab+4a+2b$$
$$4a^2+b^2+1 \ge 2ab+2a+b.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$4a^2+b^2+1 \ge 2ab+2a+b$$