Упр.17.41 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.41. Докажите неравенство a^2+b^2+1?ab+b+a.

Рассмотрим три неравенства:

$$(a-1)^2 \ge 0,$$
$$ (b-1)^2 \ge 0,$$
$$ (a-b)^2 \ge 0.$$

Раскроем скобки:

$$a^2-2a+1 \ge 0 \Rightarrow a^2+1 \ge 2a,$$
$$b^2-2b+1 \ge 0 \Rightarrow b^2+1 \ge 2b,$$
$$a^2-2ab+b^2 \ge 0 \Rightarrow a^2+b^2 \ge 2ab.$$

Сложим полученные неравенства почленно:

$$ (a^2+1)+(b^2+1)+(a^2+b^2) \ge 2a+2b+2ab. $$

Тогда

$$ 2a^2+2b^2+2 \ge 2ab+2a+2b. $$

Разделим обе части на $2$:

$$ a^2+b^2+1 \ge ab+a+b. $$

Ответ

$$a^2+b^2+1 \ge ab+a+b.$$