Упр.17.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.40. Докажите, что если b?0, то a^4+b^3+b+1?4ab.

Рассмотрим два неравенства:

$$ (a^2-1)^2 \ge 0 $$
откуда
$$ a^4-2a^2+1 \ge 0, $$
то есть
$$ a^4+1 \ge 2a^2. $$

Также
$$ b(b-1)^2 \ge 0, $$
значит
$$ b^3-2b^2+b \ge 0, $$
откуда
$$ b^3+b \ge 2b^2. $$

Сложим полученные неравенства:

$$ (a^4+1)+(b^3+b) \ge 2a^2+2b^2, $$
то есть
$$ a^4+b^3+b+1 \ge 2(a^2+b^2). $$

Теперь используем неравенство

$$ 2(a-b)^2 \ge 0, $$
откуда
$$ 2a^2-4ab+2b^2 \ge 0, $$
значит
$$ 2(a^2+b^2) \ge 4ab. $$

Следовательно,

$$ a^4+b^3+b+1 \ge 2(a^2+b^2) \ge 4ab. $$

Итак,

$$ a^4+b^3+b+1 \ge 4ab. $$

Ответ

$$ a^4+b^3+b+1 \ge 4ab $$