Упр.17.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$b \ge 0$$, то $$a^4+b^3+b+1 \ge 4ab$$.

Рассмотрим два неравенства:

$$(a^2-1)^2 \ge 0$$
откуда
$$a^4-2a^2+1 \ge 0,$$
то есть
$$a^4+1 \ge 2a^2.$$

Также
$$b(b-1)^2 \ge 0,$$
значит
$$b^3-2b^2+b \ge 0,$$
откуда
$$b^3+b \ge 2b^2.$$

Сложим полученные неравенства:

$$(a^4+1)+(b^3+b) \ge 2a^2+2b^2,$$
то есть
$$a^4+b^3+b+1 \ge 2(a^2+b^2).$$

Теперь используем неравенство

$$2(a-b)^2 \ge 0,$$
откуда
$$2a^2-4ab+2b^2 \ge 0,$$
значит
$$2(a^2+b^2) \ge 4ab.$$

Следовательно,

$$a^4+b^3+b+1 \ge 2(a^2+b^2) \ge 4ab.$$

Итак,

$$a^4+b^3+b+1 \ge 4ab.$$

Ответ

$$a^4+b^3+b+1 \ge 4ab$$