Упр.17.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$y\geq 0$$, то $$x^4+4y^3+y+2x^2+1\geq 8xy$$.

Рассмотрим два неравенства:

$$(x^2-1)^2 \ge 0$$
откуда
$$x^4-2x^2+1 \ge 0,$$
значит
$$x^4+2x^2+1 \ge 4x^2;$$

$$y(2y-1)^2 \ge 0$$
откуда
$$4y^3-4y^2+y \ge 0,$$
значит
$$4y^3+y \ge 4y^2.$$

Сложим полученные неравенства:

$$(x^4+2x^2+1)+(4y^3+y)\ge 4x^2+4y^2,$$
то есть
$$x^4+4y^3+y+2x^2+1\ge 4(x^2+y^2).$$

Теперь используем вспомогательное неравенство:

$$4(x-y)^2\ge 0,$$
откуда
$$4x^2-8xy+4y^2\ge 0,$$
значит
$$4(x^2+y^2)\ge 8xy.$$

Следовательно,
$$x^4+4y^3+y+2x^2+1\ge 4(x^2+y^2)\ge 8xy.$$
Неравенство доказано.

Ответ

$$x^4+4y^3+y+2x^2+1\ge 8xy.$$