Упр.17.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство $$x^4+4y^4+5\geq 8xy$$.

Рассмотрим два неравенства:

$$(x^2-2)^2 \ge 0$$
откуда
$$x^4-4x^2+4 \ge 0,$$
то есть
$$x^4+4 \ge 4x^2.$$

Аналогично,
$$(2y^2-1)^2 \ge 0$$
даёт
$$4y^4-4y^2+1 \ge 0,$$
то есть
$$4y^4+1 \ge 4y^2.$$

Сложим полученные неравенства:

$$(x^4+4)+(4y^4+1) \ge 4x^2+4y^2,$$
$$x^4+4y^4+5 \ge 4(x^2+y^2).$$

Теперь используем вспомогательное неравенство:

$$4(x-y)^2 \ge 0,$$
откуда
$$4x^2-8xy+4y^2 \ge 0,$$
значит
$$4(x^2+y^2) \ge 8xy.$$

Следовательно,

$$x^4+4y^4+5 \ge 4(x^2+y^2) \ge 8xy.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$x^4+4y^4+5 \ge 8xy$$