Упр.17.38 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.38. Докажите неравенство x^4+4y^4+5?8xy.

Рассмотрим два неравенства:

$$ (x^2-2)^2 \ge 0 $$
откуда
$$ x^4-4x^2+4 \ge 0, $$
то есть
$$ x^4+4 \ge 4x^2. $$

Аналогично,
$$ (2y^2-1)^2 \ge 0 $$
даёт
$$ 4y^4-4y^2+1 \ge 0, $$
то есть
$$ 4y^4+1 \ge 4y^2. $$

Сложим полученные неравенства:

$$ (x^4+4)+(4y^4+1) \ge 4x^2+4y^2, $$
$$ x^4+4y^4+5 \ge 4(x^2+y^2). $$

Теперь используем вспомогательное неравенство:

$$ 4(x-y)^2 \ge 0, $$
откуда
$$ 4x^2-8xy+4y^2 \ge 0, $$
значит
$$ 4(x^2+y^2) \ge 8xy. $$

Следовательно,

$$ x^4+4y^4+5 \ge 4(x^2+y^2) \ge 8xy. $$

Неравенство доказано.

Ответ

$$ x^4+4y^4+5 \ge 8xy $$