Упр.17.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.37. Докажите, что если a?0 и b?0, то a(1+b^2)+b(1+a^2)?4ab.

Так как $$a \ge 0$$ и $$b \ge 0,$$ то

$$ (1-b)^2 \ge 0 $$
откуда
$$ 1-2b+b^2 \ge 0, $$
значит,
$$ 1+b^2 \ge 2b. $$

Умножим это неравенство на $$a \ge 0$$:

$$ a(1+b^2) \ge 2ab. $$

Аналогично:

$$ (1-a)^2 \ge 0 $$
откуда
$$ 1-2a+a^2 \ge 0, $$
значит,
$$ 1+a^2 \ge 2a. $$

Умножим на $$b \ge 0$$:

$$ b(1+a^2) \ge 2ab. $$

Сложим полученные неравенства:

$$ a(1+b^2)+b(1+a^2) \ge 2ab+2ab=4ab. $$

Ответ

$$ a(1+b^2)+b(1+a^2)\ge 4ab. $$