Упр.17.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$a(1+b^2)+b(1+a^2)\geq 4ab$$.

Так как $$a \ge 0$$ и $$b \ge 0,$$ то

$$(1-b)^2 \ge 0$$
откуда
$$1-2b+b^2 \ge 0,$$
значит,
$$1+b^2 \ge 2b.$$

Умножим это неравенство на $$a \ge 0$$:

$$a(1+b^2) \ge 2ab.$$

Аналогично:

$$(1-a)^2 \ge 0$$
откуда
$$1-2a+a^2 \ge 0,$$
значит,
$$1+a^2 \ge 2a.$$

Умножим на $$b \ge 0$$:

$$b(1+a^2) \ge 2ab.$$

Сложим полученные неравенства:

$$a(1+b^2)+b(1+a^2) \ge 2ab+2ab=4ab.$$

Ответ

$$a(1+b^2)+b(1+a^2)\ge 4ab.$$