Упр.17.36 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите неравенство $$(a^4b^4+36)(4a^4+9b^4)\geq144a^4b^4.$$

Рассмотрим два неравенства:

$$(a^2b^2-6)^2 \ge 0$$
откуда
$$a^4b^4-12a^2b^2+36 \ge 0,$$
значит
$$a^4b^4+36 \ge 12a^2b^2.$$

Также
$$(2a^2-3b^2)^2 \ge 0,$$
следовательно
$$4a^4-12a^2b^2+9b^4 \ge 0,$$
то есть
$$4a^4+9b^4 \ge 12a^2b^2.$$

Перемножим полученные неравенства почленно:

$$(a^4b^4+36)(4a^4+9b^4) \ge 12a^2b^2 \cdot 12a^2b^2 = 144a^4b^4.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$(a^4b^4+36)(4a^4+9b^4)\ge 144a^4b^4$$