Упр.17.36 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.36. Докажите неравенство (a^4 b^4+36)(4a^4+9b^4)?144a^4 b^4.

Рассмотрим два неравенства:

$$ (a^2b^2-6)^2 \ge 0 $$
откуда
$$ a^4b^4-12a^2b^2+36 \ge 0, $$
значит
$$ a^4b^4+36 \ge 12a^2b^2. $$

Также
$$ (2a^2-3b^2)^2 \ge 0, $$
следовательно
$$ 4a^4-12a^2b^2+9b^4 \ge 0, $$
то есть
$$ 4a^4+9b^4 \ge 12a^2b^2. $$

Перемножим полученные неравенства почленно:

$$ (a^4b^4+36)(4a^4+9b^4) \ge 12a^2b^2 \cdot 12a^2b^2 = 144a^4b^4. $$

Неравенство доказано.

Ответ

$$ (a^4b^4+36)(4a^4+9b^4)\ge 144a^4b^4 $$