Упр.17.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.35. Докажите неравенство a^4+b^4+c^4+d^4?4abcd.

Рассмотрим неравенство

$$a^4+b^4+c^4+d^4\ge 4abcd.$$

Из неотрицательности квадрата имеем:

$$\left(ab-cd\right)^2\ge 0.$$

Тогда

$$a^2b^2-2abcd+c^2d^2\ge 0,$$

откуда

$$a^2b^2+c^2d^2\ge 2abcd.$$

Теперь используем ещё одно неравенство:

$$\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2\ge 0.$$

Раскроем скобки:

$$a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4\ge 0,$$

то есть

$$a^4+b^4+c^4+d^4\ge 2\left(a^2b^2+c^2d^2\right).$$

С учётом уже полученного результата

$$a^2b^2+c^2d^2\ge 2abcd$$

получаем

$$a^4+b^4+c^4+d^4\ge 2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\ge 4abcd.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$a^4+b^4+c^4+d^4\ge 4abcd.$$