Упр.17.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.34. Докажите, что если a > 0, b > 0, c > 0, то a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a) < 2.

Так как $$a>0,\; b>0,\; c>0,$$ то все знаменатели положительны. Сравним каждую дробь с дробью, у которой в знаменателе стоит сумма всех трёх чисел:

$$a+b<a+b+c,$$
$$b+c<a+b+c,$$
$$c+a<a+b+c.$$

Тогда

$$\frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c},\qquad \frac{b}{b+c}<\frac{b+a}{a+b+c},\qquad \frac{c}{c+a}<\frac{c+b}{a+b+c}.$$

Сложим эти неравенства почленно:

$$ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} < \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}. $$

Упростим правую часть:

$$ \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c} = \frac{2(a+b+c)}{a+b+c} =2. $$

Следовательно,

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2.$$

Ответ

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2.$$