Упр.17.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$a>0$$, $$b>0$$, $$c>0$$, то $$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2$$.

Так как $$a>0,\; b>0,\; c>0,$$ то все знаменатели положительны. Сравним каждую дробь с дробью, у которой в знаменателе стоит сумма всех трёх чисел:

$$a+b<a+b+c,$$
$$b+c<a+b+c,$$
$$c+a<a+b+c.$$

Тогда

$$\frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c},\qquad \frac{b}{b+c}<\frac{b+a}{a+b+c},\qquad \frac{c}{c+a}<\frac{c+b}{a+b+c}.$$

Сложим эти неравенства почленно:

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} < \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}.$$

Упростим правую часть:

$$\frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c} = \frac{2(a+b+c)}{a+b+c} =2.$$

Следовательно,

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2.$$

Ответ

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2.$$