Упр.17.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$a>0$$, $$b>0$$ и $$c>0$$, то $$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>1$$.

Рассмотрим сумму

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}.$$

Достаточно доказать, что

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}>1-\frac{c}{c+a}=\frac{a}{a+c}.$$

Тогда

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}>\frac{a}{a+c}.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{a(b+c)+b(a+b)}{(a+b)(b+c)}>\frac{a}{a+c}.$$

После раскрытия скобок получаем

$$\frac{ab+ac+ab+b^2}{(a+b)(b+c)}>\frac{a}{a+c}.$$

Так как все величины положительны, можно перемножить крест-накрест:

$$\bigl(2ab+ac+b^2\bigr)(a+c)>a(a+b)(b+c).$$

Раскроем скобки:

$$2a^2b+2abc+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c>a^2b+ab^2+a^2c+abc.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$a^2b+abc+ac^2+b^2c>0.$$

Это верно, так как $$a>0,\ b>0,\ c>0.$$ Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ

$$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>1.$$