Упр.17.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}>\frac{a+b}{1+a+b}$$.

Так как $$a>0$$ и $$b>0,$$ то

$$1+a<1+a+b,\qquad 1+b<1+a+b.$$

Следовательно, при положительных числителях получаем

$$\frac{a}{1+a}>\frac{a}{1+a+b},\qquad \frac{b}{1+b}>\frac{b}{1+a+b}.$$

Сложим эти неравенства:

$$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}>\frac{a}{1+a+b}+\frac{b}{1+a+b}.$$

Тогда

$$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}>\frac{a+b}{1+a+b}.$$

Ответ

$$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}>\frac{a+b}{1+a+b}.$$