Упр.17.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.32. Докажите, что если a > 0 и b > 0, то a/(1+a)+b/(1+b) > (a+b)/(1+a+b).

Так как $$a>0$$ и $$b>0,$$ то

$$1+a<1+a+b,\qquad 1+b<1+a+b.$$

Следовательно, при положительных числителях получаем

$$\frac{a}{1+a}>\frac{a}{1+a+b},\qquad \frac{b}{1+b}>\frac{b}{1+a+b}.$$

Сложим эти неравенства:

$$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}>\frac{a}{1+a+b}+\frac{b}{1+a+b}.$$

Тогда

$$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}>\frac{a+b}{1+a+b}.$$

Ответ

$$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}>\frac{a+b}{1+a+b}.$$