Упр.17.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$x\in[0;1]$$ и $$y\in[0;1]$$, то $$\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x}\leq 1$$.

Так как $$x \in [0;1]$$ и $$y \in [0;1],$$ то

$$1+x \le 1+y+x \le 2+x,$$

а значит, в частности,

$$1+x \ge x+y,\qquad 1+y \ge x+y.$$

Тогда

$$\frac{1}{1+x}\le \frac{1}{x+y},\qquad \frac{1}{1+y}\le \frac{1}{x+y}.$$

Умножая эти неравенства на неотрицательные числа $$y$$ и $$x$$ соответственно, получаем

$$\frac{y}{1+x}\le \frac{y}{x+y},\qquad \frac{x}{1+y}\le \frac{x}{x+y}.$$

Сложим почленно:

$$\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x}\le \frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}=\frac{x+y}{x+y}=1.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x}\le 1.$$

Ответ

$$\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x}\le 1.$$