Упр.17.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$a>0$$, $$b>0$$, $$c>0$$, то $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}>\frac{3}{a+b+c}$$.

Так как $$a>0,\; b>0,\; c>0,$$ то все рассматриваемые дроби положительны.

Докажем первое неравенство:

$$a<a+b,\quad b<b+c,\quad c<c+a.$$

При положительных знаменателях получаем:

$$\frac1a>\frac1{a+b},\quad \frac1b>\frac1{b+c},\quad \frac1c>\frac1{c+a}.$$

Складывая эти неравенства, имеем:

$$\frac1a+\frac1b+\frac1c>\frac1{a+b}+\frac1{b+c}+\frac1{c+a}.$$

Докажем второе неравенство:

$$a+b<a+b+c,\quad b+c<a+b+c,\quad c+a<a+b+c.$$

Тогда

$$\frac1{a+b}>\frac1{a+b+c},\quad \frac1{b+c}>\frac1{a+b+c},\quad \frac1{c+a}>\frac1{a+b+c}.$$

Складывая, получаем:

$$\frac1{a+b}+\frac1{b+c}+\frac1{c+a}>\frac3{a+b+c}.$$

Следовательно,

$$\frac1a+\frac1b+\frac1c>\frac1{a+b}+\frac1{b+c}+\frac1{c+a}>\frac3{a+b+c}.$$

Ответ

$$\frac1a+\frac1b+\frac1c>\frac1{a+b}+\frac1{b+c}+\frac1{c+a}>\frac3{a+b+c}.$$