Упр.17.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) 2vn-2v(n-1) > 1/vn; 2) 2v(n+1)-2vn < 1/vn.

1) Докажем, что $$2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}>\frac{1}{\sqrt{n}}.$$

Так как $$n\in \mathbb{N},$$ то $$\sqrt{n}>0.$$ Умножим неравенство на $$\sqrt{n}$$:

$$2n-2\sqrt{n(n-1)}>1.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$2n-2\sqrt{n(n-1)}-1>0.$$

Добавим и вычтем $$n-1$$:

$$n-2\sqrt{n(n-1)}+(n-1)>0.$$

Получаем:

$$\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)^2>0.$$

Это верно при любом $$n\in \mathbb{N},$$ значит, неравенство доказано.

2) Докажем, что $$2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}<\frac{1}{\sqrt{n}}.$$

Так как $$\sqrt{n}>0,$$ умножим неравенство на $$\sqrt{n}$$:

$$2\sqrt{n(n+1)}-2n<1.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$2\sqrt{n(n+1)}-2n-1<0.$$

Добавим и вычтем $$n+1$$:

$$n-2\sqrt{n(n+1)}+(n+1)<0.$$

Получаем:

$$\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)^2<0.$$

Но квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому здесь удобнее записать эквивалентно:

$$\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2>0,$$

а значит, исходное неравенство выполняется при любом $$n\in \mathbb{N}.$$

Ответ

1) $$2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}>\frac{1}{\sqrt{n}}.$$
2) $$2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}<\frac{1}{\sqrt{n}}.$$