Упр.17.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$a\ge 0$$, $$b\ge 0$$, $$c\ge 0$$ и $$d\ge 0$$, то $$\sqrt{(a+c)(b+d)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}$$.

Докажем неравенство

$$\sqrt{(a+c)(b+d)}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$

Возведём обе части в квадрат. Так как все числа неотрицательны, это равносильно исходному неравенству:

$$(a+c)(b+d)\ge \left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$ab+ad+cb+cd\ge ab+2\sqrt{abcd}+cd.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$ad+cb\ge 2\sqrt{abcd}.$$

Перепишем это так:

$$ad-2\sqrt{ad\cdot cb}+cb\ge 0,$$

то есть

$$\left(\sqrt{ad}-\sqrt{cb}\right)^2\ge 0.$$

Это верно при любых неотрицательных $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$.

Ответ

$$\sqrt{(a+c)(b+d)}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$