Упр.17.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.28. Докажите, что если a?0, b?0, c?0 и d?0, то v((a+c)(b+d))?v(ab)+v(cd).

Докажем неравенство

$$\sqrt{(a+c)(b+d)}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$

Возведём обе части в квадрат. Так как все числа неотрицательны, это равносильно исходному неравенству:

$$ (a+c)(b+d)\ge \left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ab+ad+cb+cd\ge ab+2\sqrt{abcd}+cd.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$ad+cb\ge 2\sqrt{abcd}.$$

Перепишем это так:

$$ad-2\sqrt{ad\cdot cb}+cb\ge 0,$$

то есть

$$\left(\sqrt{ad}-\sqrt{cb}\right)^2\ge 0.$$

Это верно при любых неотрицательных $a$, $b$, $c$, $d$.

Ответ

$$\sqrt{(a+c)(b+d)}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{cd}.$$