Упр.17.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите неравенство $$x^8+x^6-2x^3+x^2+1>0$$.

Преобразуем левую часть неравенства:

$$x^8+x^6-2x^3+x^2+1=(x^8+x^2)+(x^6-2x^3+1).$$

Заметим, что

$$x^8+x^2=x^2(x^6+1), \qquad x^6-2x^3+1=(x^3-1)^2.$$

Тогда

$$x^8+x^6-2x^3+x^2+1=x^2(x^6+1)+(x^3-1)^2.$$

Оба слагаемых неотрицательны при любом действительном $$x$$:

$$x^2(x^6+1)\ge 0, \qquad (x^3-1)^2\ge 0.$$

Причём равенство одновременно невозможно, так как $$(x^3-1)^2=0$$ при $$x=1$$, а тогда

$$x^2(x^6+1)=1\cdot(1+1)=2>0.$$

Значит, сумма всегда положительна:

$$x^8+x^6-2x^3+x^2+1>0.$$

Ответ

Неравенство доказано.