Упр.17.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.27. Докажите неравенство x^8+x^6-2x^3+x^2+1 > 0.

Преобразуем левую часть неравенства:

$$ x^8+x^6-2x^3+x^2+1=(x^8+x^2)+(x^6-2x^3+1). $$

Заметим, что

$$ x^8+x^2=x^2(x^6+1), \qquad x^6-2x^3+1=(x^3-1)^2. $$

Тогда

$$ x^8+x^6-2x^3+x^2+1=x^2(x^6+1)+(x^3-1)^2. $$

Оба слагаемых неотрицательны при любом действительном $x$:

$$ x^2(x^6+1)\ge 0, \qquad (x^3-1)^2\ge 0. $$

Причём равенство одновременно невозможно, так как $(x^3-1)^2=0$ при $x=1$, а тогда

$$ x^2(x^6+1)=1\cdot(1+1)=2>0. $$

Значит, сумма всегда положительна:

$$ x^8+x^6-2x^3+x^2+1>0. $$

Ответ

Неравенство доказано.