Упр.17.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.26. Докажите неравенство a^8+a^6-4a^4+a^2+1?0. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_polyakov9 17-26 95

Преобразуем левую часть неравенства:

$$ a^8+a^6-4a^4+a^2+1 $$
$$ =(a^8-2a^4+1)+(a^6-2a^4+a^2) $$
$$ =(a^4-1)^2+(a^3-a)^2. $$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то

$$ (a^4-1)^2 \ge 0,\qquad (a^3-a)^2 \ge 0. $$

Следовательно, их сумма тоже неотрицательна:

$$ (a^4-1)^2+(a^3-a)^2 \ge 0. $$

Значит,

$$ a^8+a^6-4a^4+a^2+1 \ge 0. $$

Ответ

$$ a^8+a^6-4a^4+a^2+1 \ge 0. $$