Упр.17.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство $$a^8+a^6-4a^4+a^2+1\geqslant 0$$.

Преобразуем левую часть неравенства:

$$a^8+a^6-4a^4+a^2+1$$
$$=(a^8-2a^4+1)+(a^6-2a^4+a^2)$$
$$=(a^4-1)^2+(a^3-a)^2.$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то

$$(a^4-1)^2 \ge 0,\qquad (a^3-a)^2 \ge 0.$$

Следовательно, их сумма тоже неотрицательна:

$$(a^4-1)^2+(a^3-a)^2 \ge 0.$$

Значит,

$$a^8+a^6-4a^4+a^2+1 \ge 0.$$

Ответ

$$a^8+a^6-4a^4+a^2+1 \ge 0.$$