Упр.17.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Известно, что $$x\in[0;1]$$ и $$y\in[0;1]$$. Докажите, что $$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\leq\frac{2}{1+xy}$$.

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{2}{1+xy}\le 0$$

Умножим неравенство на положительное выражение $$\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)$$:

$$(1+y^2)(1+xy)+(1+x^2)(1+xy)\le 2(1+x^2)(1+y^2)$$

Раскроем скобки:

$$(1+xy)(2+x^2+y^2)\le 2(1+x^2+y^2+x^2y^2)$$

$$2+x^2+y^2+2xy+x^3y+xy^3\le 2+2x^2+2y^2+2x^2y^2$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^3y-x^2+xy^3-y^2+2xy-2x^2y^2\le 0$$

Сгруппируем:

$$x^2(xy-1)+y^2(xy-1)-2xy(xy-1)\le 0$$

$$(x^2+y^2-2xy)(xy-1)\le 0$$

$$(x-y)^2(xy-1)\le 0$$

Так как $$x\in[0;1]$$ и $$y\in[0;1]$$, то $$xy\le 1$$, значит $$xy-1\le 0$$. Кроме того, $$\left(x-y\right)^2\ge 0$$. Следовательно, произведение не положительно:

$$(x-y)^2(xy-1)\le 0$$

Значит, исходное неравенство верно.

Ответ

$$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\le \frac{2}{1+xy}$$