Упр.17.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$x>0$$, $$y>0$$, то $$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}? \frac{(a+b)^2}{x+y}$$.

Докажем неравенство:

$$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge \frac{(a+b)^2}{x+y}, \qquad x>0,\ y>0.$$

Умножим обе части на положительное число $$xy(x+y)$$:

$$a^2y(x+y)+b^2x(x+y)\ge xy(a+b)^2.$$

Раскроем скобки:

$$a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy\ge xy(a^2+2ab+b^2).$$

Перенесём всё в левую часть:

$$a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge 0.$$

Левая часть — это квадрат двучлена:

$$\left(ay-bx\right)^2\ge 0.$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство верно.

Ответ

$$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge \frac{(a+b)^2}{x+y}.$$