Упр.17.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что при $$a>0$$ и $$b>0$$ выполняется неравенство $$\frac{a}{b+2a}+\frac{b}{a+2b}\geq\frac{2}{3}.$$

Докажем неравенство

$$\frac{a}{b+2a}+\frac{b}{a+2b}\le \frac23.$$

Так как $$a>0$$ и $$b>0,$$ то $$b+2a>0$$ и $$a+2b>0.$$ Умножим обе части неравенства на положительное число $$3(b+2a)(a+2b):$$

$$3a(a+2b)+3b(b+2a)\le 2(b+2a)(a+2b).$$

Раскроем скобки:

$$3a^2+6ab+3b^2+6ab\le 2(ab+2b^2+2a^2+4ab),$$

$$3a^2+12ab+3b^2\le 4a^2+10ab+4b^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$0\le a^2-2ab+b^2,$$

$$0\le (a-b)^2.$$

Это верно при любых действительных $$a$$ и $$b,$$ значит исходное неравенство доказано.

Ответ

$$\frac{a}{b+2a}+\frac{b}{a+2b}\le \frac23.$$