Упр.17.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.22. Докажите, что при b > 0 выполняется неравенство a^3/(a^2+b^2)?a-b/2.

Докажем неравенство:

$$\frac{a^3}{a^2+b^2}\ge a-\frac b2.$$

Так как $$b>0,$$ умножим обе части на положительное число $$2(a^2+b^2):$$

$$2a^3\ge 2a(a^2+b^2)-b(a^2+b^2).$$

Раскроем скобки:

$$2a^3\ge 2a^3+2ab^2-ba^2-b^3.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$b^3+ba^2-2ab^2\ge 0.$$

Вынесем общий множитель:

$$b^2(b-a)-ab(a-b)\ge 0,$$

$$ (b^2-ab)(b-a)\ge 0,$$

$$b(b-a)(b-a)\ge 0,$$

$$b(b-a)^2\ge 0.$$

Так как $$b>0,$$ а $$\,(b-a)^2\ge 0,$$ то произведение $$b(b-a)^2$$ неотрицательно. Следовательно, исходное неравенство верно.

Ответ

$$\frac{a^3}{a^2+b^2}\ge a-\frac b2.$$