Упр.17.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Для $$a>0$$, $$b>0$$ докажите неравенство $$a^{n+1}+b^{n+1}\geq a^n b+b^n a$$, где $$n$$ — чётное натуральное число.

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$a^{n+1}+b^{n+1}-a^n b-b^n a$$

Сгруппируем слагаемые:

$$a^n(a-b)-b^n(a-b)$$

$$=(a^n-b^n)(a-b)$$

Так как $$n$$ — чётное натуральное число, то $$n\ge 2$$, а значит, показатель $$n$$ одинаковой чётности не влияет на знак сравнения степеней при положительных $$a$$ и $$b$$:

• если $$a\ge b>0$$, то $$a^n\ge b^n$$ и $$a-b\ge 0$$;
• если $$0<a<b$$, то $$a^n<b^n$$ и $$a-b<0$$.

В обоих случаях произведение $$\left(a^n-b^n\right)\left(a-b\right)$$ неотрицательно:

$$\left(a^n-b^n\right)\left(a-b\right)\ge 0.$$

Следовательно,

$$a^{n+1}+b^{n+1}-a^n b-b^n a\ge 0,$$

то есть

$$a^{n+1}+b^{n+1}\ge a^n b+b^n a.$$

Ответ

$$a^{n+1}+b^{n+1}\ge a^n b+b^n a.$$