Упр.17.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите неравенство $$a^{n+1}+b^{n+1}\geq a^n b+b^n a$$, где $$n$$ — нечётное натуральное число.

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$a^{n+1}+b^{n+1}-a^n b-b^n a$$

Сгруппируем слагаемые:

$$a^n(a-b)-b^n(a-b)$$

Вынесем общий множитель:

$$\left(a^n-b^n\right)(a-b)$$

Так как $$n$$ — нечётное натуральное число, то функция $$x^n$$ возрастает на всей числовой прямой. Поэтому:

• если $$a \ge b$$, то $$a^n \ge b^n$$ и $$a-b \ge 0$$;
• если $$a < b$$, то $$a^n < b^n$$ и $$a-b < 0$$.

В обоих случаях произведение $$\left(a^n-b^n\right)(a-b) \ge 0$$.

Значит,

$$a^{n+1}+b^{n+1}-a^n b-b^n a \ge 0,$$

откуда

$$a^{n+1}+b^{n+1} \ge a^n b+b^n a.$$

Ответ

$$a^{n+1}+b^{n+1} \ge a^n b+b^n a.$$