Упр.17.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.19. Докажите, что если x > 0 и y > 0, то (x^3+y^3)/(x^2+y^2)?(x+y)/2.

Докажем неравенство преобразованием к очевидно верному виду:

$$ \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge \frac{x+y}{2} $$

Так как $$x^2+y^2>0$$ при $$x>0$$ и $$y>0$$, умножим обе части на $$2(x^2+y^2)$$:

$$ 2(x^3+y^3)\ge (x+y)(x^2+y^2) $$

Раскроем скобки:

$$ 2x^3+2y^3\ge x^3+xy^2+yx^2+y^3 $$

Перенесём всё в левую часть:

$$ x^3-yx^2-xy^2+y^3\ge 0 $$

Сгруппируем:

$$ x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge 0 $$

$$ (x^2-y^2)(x-y)\ge 0 $$

$$ (x-y)(x+y)(x-y)\ge 0 $$

$$ (x-y)^2(x+y)\ge 0 $$

Так как $$x>0$$ и $$y>0$$, то $$x+y>0$$, а $$ (x-y)^2\ge 0$$ при любых $$x$$ и $$y$$. Значит, произведение неотрицательно.

Следовательно, неравенство доказано.

Ответ

$$ \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge \frac{x+y}{2} $$