Упр.17.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$x>0$$ и $$y>0$$, то $$\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}?\frac{x+y}{2}$$.

Докажем неравенство преобразованием к очевидно верному виду:

$$\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge \frac{x+y}{2}$$

Так как $$x^2+y^2>0$$ при $$x>0$$ и $$y>0$$, умножим обе части на $$2(x^2+y^2)$$:

$$2(x^3+y^3)\ge (x+y)(x^2+y^2)$$

Раскроем скобки:

$$2x^3+2y^3\ge x^3+xy^2+yx^2+y^3$$

Перенесём всё в левую часть:

$$x^3-yx^2-xy^2+y^3\ge 0$$

Сгруппируем:

$$x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge 0$$

$$(x^2-y^2)(x-y)\ge 0$$

$$(x-y)(x+y)(x-y)\ge 0$$

$$(x-y)^2(x+y)\ge 0$$

Так как $$x>0$$ и $$y>0$$, то $$x+y>0$$, а $$(x-y)^2\ge 0$$ при любых $$x$$ и $$y$$. Значит, произведение неотрицательно.

Следовательно, неравенство доказано.

Ответ

$$\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge \frac{x+y}{2}$$