Упр.17.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) a^2/b?2a-b, где b > 0; 2) a^3/b^2?3a-2b, где a > 0, b > 0.

1) Так как $$b>0,$$ умножим неравенство на $$b$$:

$$\frac{a^2}{b}\ge 2a-b \iff a^2\ge b(2a-b).$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a^2-2ab+b^2\ge 0.$$

Получаем:

$$ (a-b)^2\ge 0, $$

а квадрат любого числа неотрицателен. Значит, неравенство верно.

2) Так как $$a>0,\ b>0,$$ умножим неравенство на $$b^2>0$$:

$$\frac{a^3}{b^2}\ge 3a-2b \iff a^3\ge b^2(3a-2b).$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a^3-3ab^2+2b^3\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$a^3-3ab^2+2b^3=(a-b)^2(a+2b).$$

Так как $$a>0,\ b>0,$$ то $$a+2b>0,$$ а также $$ (a-b)^2\ge 0. $$ Следовательно,

$$ (a-b)^2(a+2b)\ge 0, $$

то есть исходное неравенство доказано.

Ответ

1) $$\frac{a^2}{b}\ge 2a-b.$$
2) $$\frac{a^3}{b^2}\ge 3a-2b.$$