Упр.17.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что при любых значениях $$x$$, $$y$$ и $$z$$ хотя бы одно из выражений $$x^2+2xy+z^2$$, $$y^2+2yz+x^2$$, $$z^2+2zx+y^2$$ принимает неотрицательные значения.

Рассмотрим сумму данных выражений:

$$(x^2+2xy+z^2)+(y^2+2yz+x^2)+(z^2+2zx+y^2).$$

Сгруппируем слагаемые:

$$2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx.$$

Вынесем общий множитель $$2$$:

$$2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx).$$

Заметим, что

$$(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2=2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx).$$

Значит,

$$(x^2+2xy+z^2)+(y^2+2yz+x^2)+(z^2+2zx+y^2)=(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2\ge 0.$$

Если бы все три выражения были отрицательными, то их сумма тоже была бы отрицательной. Но сумма неотрицательна. Следовательно, хотя бы одно из этих выражений неотрицательно.

Ответ

Хотя бы одно из выражений $$x^2+2xy+z^2$$, $$y^2+2yz+x^2$$, $$z^2+2zx+y^2$$ при любых $$x, y, z$$ неотрицательно.