Упр.17.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что:

1. если $$00$$, то $$\frac{a}{b}<\frac{a+k}{b+k}$$;
2. если $$a>b>0$$, $$k>0$$, то $$\frac{a}{b}>\frac{a+k}{b+k}$$.

1. Рассмотрим разность:

   $$\frac{a+k}{b+k}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+k)-a(b+k)}{b(b+k)}.$$

   Упростим числитель:

   $$b(a+k)-a(b+k)=ab+bk-ab-ak=k(b-a).$$

   Тогда

   $$\frac{a+k}{b+k}-\frac{a}{b}=\frac{k(b-a)}{b(b+k)}.$$

   Так как $$0<a<b$$ и $$k>0$$, то $$b-a>0$$, а также $$b>0$$ и $$b+k>0$$. Значит,

   $$\frac{k(b-a)}{b(b+k)}>0,$$

   следовательно,

   $$\frac{a}{b}<\frac{a+k}{b+k}.$$

2. Рассмотрим разность:

   $$\frac{a}{b}-\frac{a+k}{b+k}=\frac{a(b+k)-b(a+k)}{b(b+k)}.$$

   Упростим числитель:

   $$a(b+k)-b(a+k)=ab+ak-ab-bk=k(a-b).$$

   Тогда

   $$\frac{a}{b}-\frac{a+k}{b+k}=\frac{k(a-b)}{b(b+k)}.$$

   Так как $$a\ge b>0$$ и $$k>0$$, то $$a-b\ge 0$$, а также $$b>0$$ и $$b+k>0$$. Значит,

   $$\frac{k(a-b)}{b(b+k)}\ge 0,$$

   следовательно,

   $$\frac{a}{b}\ge \frac{a+k}{b+k}.$$

Ответ

1) $$\frac{a}{b}<\frac{a+k}{b+k}$$; 2) $$\frac{a}{b}\ge \frac{a+k}{b+k}$$.