Упр.17.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите неравенство $$a^4+b^4\geq a^3b+b^3a$$.

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$a^4+b^4-a^3b-b^3a$$

Сгруппируем слагаемые:

$$a^4-a^3b+b^4-ab^3=a^3(a-b)-b^3(a-b)=(a-b)(a^3-b^3).$$

Разложим разность кубов:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Тогда

$$a^4+b^4-a^3b-b^3a=(a-b)^2(a^2+ab+b^2).$$

Преобразуем выражение в скобках:

$$a^2+ab+b^2=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2 \ge 0.$$

Следовательно,

$$(a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge 0,$$

значит,

$$a^4+b^4\ge a^3b+b^3a.$$

Ответ

$$a^4+b^4\ge a^3b+b^3a.$$