Упр.17.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 17.14. Докажите неравенство a^4+b^4?a^3 b+b^3 a.

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$a^4+b^4-a^3b-b^3a$$

Сгруппируем слагаемые:

$$a^4-a^3b+b^4-ab^3=a^3(a-b)-b^3(a-b)=(a-b)(a^3-b^3).$$

Разложим разность кубов:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Тогда

$$a^4+b^4-a^3b-b^3a=(a-b)^2(a^2+ab+b^2).$$

Преобразуем выражение в скобках:

$$a^2+ab+b^2=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2 \ge 0.$$

Следовательно,

$$ (a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge 0, $$

значит,

$$a^4+b^4\ge a^3b+b^3a.$$

Ответ

$$a^4+b^4\ge a^3b+b^3a.$$