Упр.17.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$a^3+b^3\geq a^2b+b^2a$$.

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$a^3+b^3-a^2b-b^2a$$

Сгруппируем слагаемые:

$$a^3-a^2b+b^3-b^2a$$

Вынесем общий множитель:

$$a^2(a-b)-b^2(a-b)$$

$$\left(a^2-b^2\right)(a-b)$$

Разложим разность квадратов:

$$\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a-b\right)$$

$$\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2$$

Так как $$a \ge 0$$ и $$b \ge 0$$, то $$a+b \ge 0$$, а квадрат любого числа неотрицателен:

$$\left(a-b\right)^2 \ge 0$$

Следовательно,

$$\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2 \ge 0$$

Значит,

$$a^3+b^3-a^2b-b^2a \ge 0,$$

то есть

$$a^3+b^3 \ge a^2b+b^2a.$$

Ответ

$$a^3+b^3 \ge a^2b+b^2a$$