Упр.17.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите неравенство:

1. $$a^2+b^2-16a+14b+114>0$$;
2. $$x^2+y^2+10\geq 6x-2y$$;
3. $$c^2+5d^2+4cd-4d+4\geq 0$$;
4. $$a^2+b^2+c^2\geq 2(a+b+c)-3$$.

1. $$a^2+b^2-16a+14b+114$$
   $$=a^2-16a+64+b^2+14b+49+1$$
   $$=(a-8)^2+(b+7)^2+1$$

   Так как $$(a-8)^2 \ge 0$$ и $$(b+7)^2 \ge 0$$, то
   $$(a-8)^2+(b+7)^2+1>0.$$

2. $$x^2+y^2+10\ge 6x-2y$$
   $$x^2-6x+9+y^2+2y+1\ge 0$$
   $$(x-3)^2+(y+1)^2\ge 0$$

   Квадрат любого числа неотрицателен, значит неравенство верно.

3. $$c^2+5d^2+4cd-4d+4\ge 0$$
   $$c^2+4cd+4d^2+d^2-4d+4\ge 0$$
   $$(c+2d)^2+(d-2)^2\ge 0$$

   Сумма квадратов неотрицательна, следовательно, неравенство доказано.

4. $$a^2+b^2+c^2\ge 2(a+b+c)-3$$
   $$a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1\ge 0$$
   $$(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\ge 0$$

   Сумма квадратов неотрицательна, значит неравенство верно.

Ответ

Все неравенства доказаны.