Упр.17.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство:
   1) $$a^2+b^2+6a-4b+13\geq 0$$;
   4) $$a^2b^2+a^2+b^2+1\geq 4ab$$;
   2) $$x^2-2x+y^2+10y+28>0$$;
   5) $$2a^2+b^2+c^2\geq 2a(b+c)$$;
   3) $$a^2+b^2+c^2+12\geq 4(a+b+c)$$.

1. $$a^2+b^2+6a-4b+13=(a^2+6a+9)+(b^2-4b+4)= (a+3)^2+(b-2)^2.$$
   Так как квадрат любого числа неотрицателен, то
   $$(a+3)^2+(b-2)^2 \ge 0.$$
   Следовательно, неравенство доказано.

2. $$x^2-2x+y^2+10y+28=(x^2-2x+1)+(y^2+10y+25)+2=(x-1)^2+(y+5)^2+2.$$
   Поскольку
   $$(x-1)^2 \ge 0,\quad (y+5)^2 \ge 0,$$
   то
   $$(x-1)^2+(y+5)^2+2>0.$$
   Неравенство доказано.

3. $$a^2+b^2+c^2+12-4(a+b+c)=(a^2-4a+4)+(b^2-4b+4)+(c^2-4c+4).$$
   Тогда
   $$a^2+b^2+c^2+12-4(a+b+c)=(a-2)^2+(b-2)^2+(c-2)^2 \ge 0.$$
   Значит,
   $$a^2+b^2+c^2+12 \ge 4(a+b+c).$$
   Неравенство доказано.

4. $$a^2b^2+a^2+b^2+1-4ab=(a^2b^2-2ab+1)+(a^2-2ab+b^2).$$
   Получаем
   $$a^2b^2+a^2+b^2+1-4ab=(ab-1)^2+(a-b)^2 \ge 0.$$
   Следовательно,
   $$a^2b^2+a^2+b^2+1 \ge 4ab.$$
   Неравенство доказано.

5. $$2a^2+b^2+c^2-2a(b+c)=2a^2-2ab-2ac+b^2+c^2.$$
   Преобразуем:
   $$2a^2-2ab-2ac+b^2+c^2=(a-b)^2+(a-c)^2 \ge 0.$$
   Значит,
   $$2a^2+b^2+c^2 \ge 2a(b+c).$$
   Неравенство доказано.

Ответ

Во всех пунктах неравенства верны.