Упр.16.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) |2x-y|?1; 3) |x+y|?x-y;
2) |2x-y|?x+y; 4) v(x-2y-1)?v(x-y).

1. $$|2x-y|\le 1$$

   Тогда
   $$-1\le 2x-y\le 1.$$
   Отсюда
   $$ \begin{cases} 2x-y\ge -1,\\ 2x-y\le 1, \end{cases} \qquad \begin{cases} y\le 2x+1,\\ y\ge 2x-1. \end{cases} $$
   Значит, искомая область — полоса между прямыми $$y=2x-1$$ и $$y=2x+1$$, включая границы.

2. $$|2x-y|\le x+y$$

   Рассмотрим два случая.

   Если $$y\le 2x,$$ то $$|2x-y|=2x-y,$$ и получаем
   $$ 2x-y\le x+y \;\Rightarrow\; x\le 2y \;\Rightarrow\; y\ge \frac{x}{2}. $$

   Если $$y>2x,$$ то $$|2x-y|=y-2x,$$ и тогда
   $$ y-2x\le x+y \;\Rightarrow\; -3x\le 0 \;\Rightarrow\; x\ge 0. $$

   Следовательно, график неравенства состоит из области, где $$x\ge 0,$$ и области выше прямой $$y=\frac{x}{2}$$ при $$y\le 2x.$$ В итоге получаем объединение этих частей.

3. $$|x+y|\ge x-y$$

   Рассмотрим два случая.

   Если $$y\ge -x,$$ то $$|x+y|=x+y,$$ и
   $$ x+y\ge x-y \;\Rightarrow\; 2y\ge 0 \;\Rightarrow\; y\ge 0. $$

   Если $$y<-x,$$ то $$|x+y|=-x-y,$$ и
   $$ -x-y\ge x-y \;\Rightarrow\; 2x\le 0 \;\Rightarrow\; x\le 0. $$

   Значит, подходит вся полуплоскость $$y\ge 0$$ и вся полуплоскость $$x\le 0$$.

4. $$\sqrt{x-2y-1}\le \sqrt{x-y}$$

   Так как функция корня возрастает, при выполнении области определения имеем
   $$ x-2y-1\le x-y \;\Rightarrow\; y\ge -1. $$

   Область определения:
   $$ \begin{cases} x-2y-1\ge 0,\\ x-y\ge 0. \end{cases} $$
   То есть
   $$ y\le \frac{x-1}{2}, \qquad y\le x. $$
   С учётом условия $$y\ge -1$$ получаем искомую область:
   $$ -1\le y\le \frac{x-1}{2}. $$

Ответ

1) Полоса между прямыми $$y=2x-1$$ и $$y=2x+1$$.
2) Объединение областей, заданных условиями $$x\ge 0$$ и $$y\ge \frac{x}{2}$$ при $$y\le 2x$$.
3) Объединение полуплоскостей $$y\ge 0$$ и $$x\le 0$$.
4) $$-1\le y\le \frac{x-1}{2}$$ при $$x-y\ge 0$$ и $$x-2y-1\ge 0$$.