Упр.16.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Изобразите график неравенства:
   1) $$|x-y|\leq 2$$; 2) $$|x+y|\leq x-y$$; 3) $$|x-y|\leq 2x+y$$; 4) $$\sqrt{x-y}\leq 2$$; 5) $$\sqrt{x+y}\leq\sqrt{2x-y+1}$$; 6) $$\sqrt{2x+y}\leq\sqrt{x-y-1}$$.

1. $$|x-y|\le 2$$

   Это равносильно системе:
   $$\begin{cases} x-y\le 2,\\ x-y\ge -2. \end{cases}$$
   То есть
   $$\begin{cases} y\ge x-2,\\ y\le x+2. \end{cases}$$

   Искомая область — полоса между прямыми $$y=x-2$$ и $$y=x+2$$, включая границы.

2. $$|x+y|\le x-y$$

   Так как левая часть неотрицательна, то обязательно $$x-y\ge 0$$, то есть $$y\le x$$.

   Рассмотрим случаи:

   Если $$x+y\ge 0$$, то
   $$x+y\le x-y \;\Rightarrow\; 2y\le 0 \;\Rightarrow\; y\le 0.$$

   Если $$x+y<0$$, то
   $$-(x+y)\le x-y \;\Rightarrow\; -x-y\le x-y \;\Rightarrow\; x\ge 0.$$

   В итоге получаем область, состоящую из точек, для которых $$x\ge 0$$ и $$y\le 0$$, а также $$y\le x$$.

3. $$|x-y|\ge 2x+y$$

   Рассмотрим случаи:

   Если $$x-y\ge 0$$, то
   $$x-y\ge 2x+y \;\Rightarrow\; -x-2y\ge 0 \;\Rightarrow\; y\le -\frac{x}{2}.$$

   Если $$x-y<0$$, то
   $$-(x-y)\ge 2x+y \;\Rightarrow\; -x+y\ge 2x+y \;\Rightarrow\; -3x\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le 0.$$

   График — объединение соответствующих полуплоскостей.

4. $$\sqrt{x-y}\le 2$$

   Область определения:
   $$x-y\ge 0 \;\Rightarrow\; y\le x.$$

   Возводим в квадрат:
   $$x-y\le 4 \;\Rightarrow\; y\ge x-4.$$

   Итак, нужно изобразить полосу между прямыми $$y=x$$ и $$y=x-4$$, включая границы.

5. $$\sqrt{x+y}\le \sqrt{2x-y+1}$$

   Область определения:
   $$x+y\ge 0,\qquad 2x-y+1\ge 0.$$

   Так как корни неотрицательны, можно возвести неравенство в квадрат:
   $$x+y\le 2x-y+1 \;\Rightarrow\; 2y\le x+1 \;\Rightarrow\; y\le \frac{x}{2}+\frac12.$$

   Искомая область — пересечение полуплоскостей, заданных этими условиями.

6. $$\sqrt{2x+y}\ge \sqrt{x-y-1}$$

   Область определения:
   $$2x+y\ge 0,\qquad x-y-1\ge 0.$$

   Возводим в квадрат:
   $$2x+y\ge x-y-1 \;\Rightarrow\; x+2y\ge -1 \;\Rightarrow\; y\ge -\frac{x}{2}-\frac12.$$

   График — пересечение области определения с полуплоскостью $$y\ge -\frac{x}{2}-\frac12$$.

Ответ

1) $$y\ge x-2,\; y\le x+2$$;
2) $$x\ge 0,\; y\le 0,\; y\le x$$;
3) $$\begin{cases}y\le -\dfrac{x}{2},\\ \text{или } x\le 0;\end{cases}$$
4) $$y\le x,\; y\ge x-4$$;
5) $$x+y\ge 0,\; 2x-y+1\ge 0,\; y\le \dfrac{x}{2}+\dfrac12$$;
6) $$2x+y\ge 0,\; x-y-1\ge 0,\; y\ge -\dfrac{x}{2}-\dfrac12$$.