Упр.16.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
1) {(x^2+y^2?9, x^2+y^2?4); 3) {(x^2+y^2?5, xy?2);
3) {(x^2+y^2 > 4, (x-3)^2+y^2 < 9); 4) {(y?-x^2+1, y?|x|-1).
$$ \begin{cases} x^2+y^2\le 9,\\ x^2+y^2\ge 4. \end{cases} $$
Это точки, расстояние от которых до начала координат не меньше $$2$$ и не больше $$3$$. Получаем кольцо между окружностями радиусов $$2$$ и $$3$$ с центром в начале координат, включая обе границы.
$$ \begin{cases} x^2+y^2>4,\\ (x-3)^2+y^2<9. \end{cases} $$
Первое неравенство задаёт внешность окружности с центром в начале координат и радиусом $$2$$, второе — внутренность окружности с центром $$ (3,0) $$ и радиусом $$3$$. Искомое множество — их пересечение.
$$ \begin{cases} x^2+y^2\le 5,\\ xy\ge 2. \end{cases} $$
Первое неравенство задаёт круг радиуса $$\sqrt{5}$$ с центром в начале координат. Второе равносильно $$y\ge \dfrac{2}{x}$$ при $$x>0$$ и $$y\le \dfrac{2}{x}$$ при $$x<0$$. Искомая область — часть круга, лежащая в I и III четвертях и расположенная по нужную сторону гиперболы $$xy=2$$.
$$ \begin{cases} y\le -x^2+1,\\ y\ge |x|-1. \end{cases} $$
Нужно взять точки, которые лежат ниже параболы $$y=-x^2+1$$ и выше графика $$y=|x|-1$$. Точки пересечения найдём из уравнения
$$ -x^2+1=|x|-1. $$
При $$x\ge 0$$ имеем $$|x|=x$$:
$$ -x^2+1=x-1 \;\Rightarrow\; x^2+x-2=0 \;\Rightarrow\; x=1. $$
При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$:
$$ -x^2+1=-x-1 \;\Rightarrow\; x^2-x-2=0 \;\Rightarrow\; x=-1. $$
Точки пересечения: $$(-1,0)$$ и $$(1,0)$$. Следовательно, искомая область — замкнутая фигура между графиками на отрезке $$[-1;1]$$.
Ответ
1) кольцо между окружностями $$x^2+y^2=4$$ и $$x^2+y^2=9$$;
2) пересечение областей $$x^2+y^2>4$$ и $$ (x-3)^2+y^2<9 $$;
3) часть круга $$x^2+y^2\le 5$$, лежащая в I и III четвертях и удовлетворяющая $$xy\ge 2$$;
4) область между графиками $$y=-x^2+1$$ и $$y=|x|-1$$ при $$-1\le x\le 1$$.
